перпендикулярність

1. Перпендикулярні прямі на площині [ правити | правити код ]
2. У координатах [ правити | правити код ]
3. Побудова перпендикуляра [ правити | правити код ]
4. Координати точки підстави перпендикуляра до прямої [ правити | правити код ]
5. Перпендикулярні прямі [ правити | правити код ]
6. Перпендикулярність прямої до площини [ правити | правити код ]
7. Перпендикулярні площині [ правити | правити код ]
8. Перпендикулярність площин в 4-вимірному просторі [ правити | правити код ]
9. Перпендикулярність прямої і гиперплоскости [ правити | правити код ]

перпендикулярність - бінарне відношення між різними об'єктами ( векторами , прямими , підпросторами і т.д.).

Для позначення перпендикулярності є загальноприйнятий символ: ⊥ {\ displaystyle \ perp} , Запропонований в 1634 році французьким математиком П'єром Ерігона . Наприклад, перпендикулярність прямих m {\ displaystyle m} і n {\ displaystyle n} записують як m ⊥ n {\ displaystyle m \ perp n} .

Перпендикулярні прямі на площині [ правити | правити код ]

дві прямі на площині називаються перпендикулярними, якщо при перетині утворюють 4 прямих кута .

Про пряму m {\ displaystyle m} перпендикулярну до прямої ℓ {\ displaystyle \ ell} проведену через точку P {\ displaystyle P} поза прямою ℓ {\ displaystyle \ ell} , Кажуть, що m {\ displaystyle m} є перпендикуляр опущений з P {\ displaystyle P} на ℓ {\ displaystyle \ ell} . Якщо ж точка P {\ displaystyle P} лежить на прямій ℓ {\ displaystyle \ ell} , То говорять, що m {\ displaystyle m} є перпендикуляр до відновлений з P {\ displaystyle P} до ℓ {\ displaystyle \ ell} (застарілий термін восставленний [1] ).

У координатах [ правити | правити код ]

В аналітичному вираженні прямі, задані лінійними функціями

y = a ⋅ x + b {\ displaystyle y = a \ cdot x + b}

і

y = k ⋅ x + m {\ displaystyle y = k \ cdot x + m}

будуть перпендикулярні, якщо виконана така умова на їх кутові коефіцієнти

a ⋅ k = - 1. {\ displaystyle a \ cdot k = -1.}

Побудова перпендикуляра [ правити | правити код ]

'Крок 1: (червоний) За допомогою циркуля проведемо півколо з центром в точці P, отримавши точки А' і В.

'Крок 2: (зелений) Не змінюючи радіуса, побудуємо дві півкола з центром в точках A' і В відповідно, що проходять через точку P. Крім точки P є ще одна точка перетину цих півкіл, назвемо її Q.

Крок 3: (синій) З'єднуємо точки P і Q. PQ і є перпендикуляр до прямої AB.

Координати точки підстави перпендикуляра до прямої [ правити | правити код ]

Нехай пряма задається точками A (x a, y a) {\ displaystyle A (x_ {a}, y_ {a})} і B (x b, y b) {\ displaystyle B (x_ {b}, y_ {b})} . На пряму опускається перпендикуляр з точки P (x p, y p) {\ displaystyle P (x_ {p}, y_ {p})} . Тоді підставу перпендикуляра O (x o, y o) {\ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o})} можна знайти в такий спосіб.

Якщо x a = x b {\ displaystyle x_ {a} = x_ {b}} (Вертикаль), то x o = x a {\ displaystyle x_ {o} = x_ {a}} і y o = y p {\ displaystyle y_ {o} = y_ {p}} . Якщо y a = y b {\ displaystyle y_ {a} = y_ {b}} (Горизонталь), то x o = x p {\ displaystyle x_ {o} = x_ {p}} і y o = y a {\ displaystyle y_ {o} = y_ {a}} .

У всіх інших випадках:

xo = xa ⋅ (yb - ya) 2 + xp ⋅ (xb - xa) 2 + (xb - xa) ⋅ (yb - ya) ⋅ (yp - ya) (yb - ya) 2 + (xb - xa) 2 {\ displaystyle x_ {o} = {\ frac {x_ {a} \ cdot (y_ {b} -y_ {a}) ^ {2} + x_ {p} \ cdot (x_ {b} -x_ {a} ) ^ {2} + (x_ {b} -x_ {a}) \ cdot (y_ {b} -y_ {a}) \ cdot (y_ {p} -y_ {a})} {(y_ {b} -y_ {a}) ^ {2} + (x_ {b} -x_ {a}) ^ {2}}}} ; yo = (xb - xa) ⋅ (xp - xo) (yb - ya) + yp {\ displaystyle y_ {o} = {\ frac {(x_ {b} -x_ {a}) \ cdot (x_ {p} -x_ {o})} {(y_ {b} -y_ {a})}} + y_ {p}} .

Перпендикулярні прямі [ правити | правити код ]

Дві прямі в просторі перпендикулярні один одному, якщо вони відповідно паралельні деяким двом іншим взаємно перпендикулярним прямим, лежачим в одній площині. Дві прямі, що лежать в одній площині, називаються перпендикулярними (або взаємно перпендикулярними), якщо вони утворюють чотири прямих кута.

Перпендикулярність прямої до площини [ правити | правити код ]

визначення: пряма називається перпендикулярної до площини, якщо вона перпендикулярна всім прямим, лежачим в цій площині.

Ознака: Якщо пряма перпендикулярна двом пересічним прямим площині, то вона перпендикулярна цій площині.

площина , Перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, перпендикулярна і інший. Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини, і до того ж тільки одна.

Перпендикулярні площині [ правити | правити код ]

дві площині називаються перпендикулярними, якщо двогранний кут між ними дорівнює 90 °.

• якщо площину проходить через пряму, перпендикулярну іншій площині, то ці площини перпендикулярні.
• Якщо з точки, що належить одній з двох перпендикулярних площин, провести перпендикуляр до іншої площини, то цей перпендикуляр повністю лежить в першій площині.
• Якщо в одній з двох перпендикулярних площин провести перпендикуляр до їх лінії перетину, то цей перпендикуляр буде перпендикулярний другій площині.
• Площина, перпендикулярна двом пересічним площинах, перпендикулярна їх лінії перетину [2] .

Перпендикулярність площин в 4-вимірному просторі [ правити | правити код ]

Перпендикулярність площин в чотиривимірному просторі має два сенсу: площині можуть бути перпендикулярні в 3-вимірному сенсі, якщо вони перетинаються по прямій (а отже, лежать в одній гиперплоскости ), І двогранний кут між ними дорівнює 90 °.

Площині можуть бути також перпендикулярні в 4-вимірному сенсі, якщо вони перетинаються в точці (а отже, не лежать в одній гіперплощини), і будь-які 2 прямі, проведені в цих площинах через точку їх перетину (кожна пряма в своїй площині), перпендикулярні.

У 4-вимірному просторі через дану точку можна провести рівно 2 взаємно перпендикулярні площини в 4-вимірному сенсі (тому 4-мірне евклідів простір можна уявити як декартовій твір двох площин). Якщо ж об'єднати обидва види перпендикулярності, то через дану точку можна провести 6 взаємно перпендикулярних площин (перпендикулярних в будь-якому з двох вищезгаданих значень).

Існування шести взаємно перпендикулярних площин можна пояснити таким прикладом. Нехай дана система декартових координат xyzt. Для кожної пари координатних прямих існує площину, що включає ці дві прямі. Кількість таких пар одно (4 2) = 6 {\ displaystyle {\ tbinom {4} {2}} = 6} : Xy, xz, xt, yz, yt, zt, і їм відповідають 6 площин. Ті з цих площин, які включають однойменну вісь, перпендикулярні в 3-вимірному сенсі і перетинаються по прямій (наприклад, xy і xz, yz і zt), а ті, які не включають однойменних осей, перпендикулярні в 4-вимірному сенсі і перетинаються в точці (наприклад, xy і zt, yz і xt).

Перпендикулярність прямої і гиперплоскости [ правити | правити код ]

Нехай задано n-мірне евклідів простір R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} (N> 2) і асоційоване з ним векторний простір W n {\ displaystyle W ^ {n}} , А пряма l з напрямних векторних простором L 1 {\ displaystyle L ^ {1}} і гіперплоскость Π k {\ displaystyle \ Pi _ {k}} з напрямних векторних простором L k {\ displaystyle L ^ {k}} (Де L 1 ⊂ W n {\ displaystyle L_ {1} \ subset W ^ {n}} , L k ⊂ W n, k <n {\ displaystyle L ^ {k} \ subset W ^ {n}, \ k <n} ) Належать простору R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} .

Пряма l називається перпендикулярної гиперплоскости Π k {\ displaystyle \ Pi _ {k}} , Якщо підпростір L 1 {\ displaystyle L_ {1}} ортогонально подпространству L k {\ displaystyle L ^ {k}} , Тобто (∀ a → ∈ L 1) (∀ b → ∈ L k) a → b → = 0 {\ displaystyle (\ forall {\ vec {a}} \ in L_ {1}) \ (\ forall { \ vec {b}} \ in L_ {k}) \ {\ vec {a}} {\ vec {b}} = 0}